Voronezh Scientific-Technical Bulletin Voronezh Scientific-Technical Bulletin Воронежский научно-технический вестник 2311-8873 40441 10.34220/2311-8873-2020-3-3-16-19 ТЕХНОЛОГИЯ МАШИНОСТРОЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЯ МАШИНОСТРОЕНИЯ INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION WITH FEATURE IN A BANACH SPACE ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОСОБЕННОСТЬЮ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Сапронов Иван Васильевич Sapronov Ivan Vasilevich Спирина Надежда Михайловна Spirina Nadejda Mihailovna Зенина Вероника Валериевна Zenina Veronika Valerievna Воронежский государственный лесотехнический университет имени Г.Ф. Морозова Россия Voronezh State University of Forestry and Technologies named after G.F. Morozov Russian Federation Воронежский государственный лесотехнический университет им. Г.Ф. Морозова Россия Voronezh State Forestry Engineering University named after G.F. Morozov Russian Federation 3 3 16 19 https://vntv.editorum.ru/en/nauka/article/40441/view

В нормированном банаховом пространстве рассматривается вырождающееся в нуле интегро-дифференциальное уравнение. Для него строится множество решений со значениями в некотором специально введённом пространстве функций, равных в нуле нулю.

In normalized Banach space, a zero-degenerating integro-differential equation is considered. For him, many solutions are built with values in some specially introduced space of functions equal to zero in zero.

 интегральное уравнение банахово пространство операторный пучок спектр integral equation Banach space operator bundle spectrum

ВведениеВ связи с расширяющимся объемом приложений особое развитие получила теория дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Она применяется при решении задач обработки экспериментальных данных, задач численного дифференцирования, различных обратных задач, поэтому решение таких уравнений является актуальным и в настоящее время.Рассматривается интегро-дифференциальное уравнение видаC0xqП3ϑ+C1xqП2ϑ+C2xqПϑ+C3xqϑ+0xϑtdt=0 ,               (1)где Пϑ=xqϑx&#39; , Пk=ППk-1ϑ=xqПk-1ϑ&#39; .Оно изучается в пространстве Mq,r4,-q . Операторы C0 , C1 , …, C4  являются ограниченными в E .Рассмотрим операторный пучокFr=-C0r3+C1r2-C2r+C3-C41r.                                     (2)Теорема. Дано:пучок (2) имеет собственное значение r<0 ;собственному значению r  принадлежит цепочка элементов банахова пространства E  vi i=0,…,4 .Тогда рассматриваемое равенство (1) имеет следующее решениеϑx=1xqerZi=04v4-i Zix ,   где   Zx=αxduuq  .                      (3)Построение решенияПодставляя (3) в (1) получаем-C0r3+C1r2-C2r+C3-C41rv0Z4++4-3C0r2+2C1r-C2+C41r2v0Z3++-C0r3+C1r2-C2r+C3-C41rv1Z3++6-6C0r+2C1-C42r3v0Z2++3-3C0r2+2rC1-C2+1r2C4v1Z2++-C0r3+C1r2-C2r+C3-1rC4v2Z2++4-6C0+6r4C4v0Z++3-6C0r+2C1-2r3C4v1Z++2-3C0r2+2rC1-C2+1r2C4v2Z++-C0r3+C1r2-C2r-1rC4v3Z++-24r5C4v0+-6C0+6r4C4v1+-6C0r+2C1-2r3C4v2++-3C0r2+2rC1-C2+1r2C4v3++-C0r3+C1r2-C2r+C3-1rC4v4=0           (4)Приравнивая коэффициенты при Zi  i=4,3,…,0  нулю, получаем -C0r3+C1r2-C2r+C3-C41rv0=04-3C0r2+2C1r-C2+C41r2v0++-C0r3+C1r2-C2r+C3-C41rv1=06-6C0r+2C1-C42r3v0++3-3C0r2+2rC1-C2+1r2C4v1++-C0r3+C1r2-C2r+C3-1rC4v2=04-6C0+6r4C4v0++3-6C0r+2C1-2r3C4v1++2-3C0r2+2rC1-C2+1r2C4v2++-C0r3+C1r2-C2r-1rC4v3=0-24r5C4v0+-6C0+6r4C4v1+-6C0r+2C1-2r3C4v2++-3C0r2+2rC1-C2+1r2C4v3++-C0r3+C1r2-C2r+C3-1rC4v4=0           (5) Систему уравнений (5) можно переписать в виде Frv0=0 Fr&#39;4v0+Frv1=0 Fr&#39;&#39;2!12v0+Fr&#39;3v1+Frv2=0 Fr&#39;&#39;&#39;3!24v0+Fr&#39;&#39;2!6v1+Fr&#39;1!2v2+Frv3=0                                                        (6)FrIV4!24v0+Fr&#39;&#39;&#39;3!6v1+Fr&#39;&#39;2!2v2+Fr&#39;v3+Frv4=0  Из системы уравнений (6) следует, что vk=4!4-k!vk    k=0,1,2,3,4 .

Sato, T. Sur l΄equation integrale / T. Sato // J. Math. Soc. Japan. - 1953. - V. 5. - № 2. - P. 145-153. Sato, T. Sur l΄equation integrale / T. Sato // J. Math. Soc. Japan. - 1953. - V. 5. - № 2. - P. 145-153. Takesada, T. On the singular point of integral equations of Volterra type / T. Takesada // J. Math. Soc. Japan. - 1955. - V. 7. - № 2. - P. 123-136. Takesada, T. On the singular point of integral equations of Volterra type / T. Takesada // J. Math. Soc. Japan. - 1955. - V. 7. - № 2. - P. 123-136. Панов, Л. И. Об интегральных уравнениях с ядрами, имеющими неинтегрируемую особенность произвольного порядка / Л. И. Панов // ДАН Тадж. ССР. - 1967. - T. 10. - № 6. - C. 3-7. Panov, L. I. Ob integral'nyh uravneniyah s yadrami, imeyuschimi neintegriruemuyu osobennost' proizvol'nogo poryadka / L. I. Panov // DAN Tadzh. SSR. - 1967. - T. 10. - № 6. - C. 3-7. Магницкий, Н. А. О существовании многопараметрических семейств решений интегрального уравнения Вольтерра I-го рода / Н. А. Магницкий // ДАН СССР. - 1977. - T. 235. - № 4. - C. 772-774. Magnickiy, N. A. O suschestvovanii mnogoparametricheskih semeystv resheniy integral'nogo uravneniya Vol'terra I-go roda / N. A. Magnickiy // DAN SSSR. - 1977. - T. 235. - № 4. - C. 772-774. Магницкий, Н. А. Многопараметрические семейства решений интегральных уравнений Вольтерра / Н. А. Магницкий // ДАН СССР. - 1978. -T. 240. - № 2. - C. 268-271. Magnickiy, N. A. Mnogoparametricheskie semeystva resheniy integral'nyh uravneniy Vol'terra / N. A. Magnickiy // DAN SSSR. - 1978. -T. 240. - № 2. - C. 268-271. Магницкий, Н. А. Линейные интегральные уравнения Вольтерра I и III рода / Н. А. Магницкий // Журнал выч. мат. и мат. физ. - 1979. - T. 19. - № 4. -C. 970-988. Magnickiy, N. A. Lineynye integral'nye uravneniya Vol'terra I i III roda / N. A. Magnickiy // Zhurnal vych. mat. i mat. fiz. - 1979. - T. 19. - № 4. -C. 970-988. Крейн, С. Г. О полноте системы решений интегрального уравнения Вольтерра с особенностью / С. Г. Крейн, И. В. Сапронов // Докл. РАН. - 1997. - T. 355. - № 4. - C. 450-452. Kreyn, S. G. O polnote sistemy resheniy integral'nogo uravneniya Vol'terra s osobennost'yu / S. G. Kreyn, I. V. Sapronov // Dokl. RAN. - 1997. - T. 355. - № 4. - C. 450-452. Крейн, С. Г. Об интегральных уравнениях Вольтерра с особенностями / С. Г. Крейн, И. В. Сапронов // УМН. - 1995. - T. 50. - Вып. 4. - C. 140. Kreyn, S. G. Ob integral'nyh uravneniyah Vol'terra s osobennostyami / S. G. Kreyn, I. V. Sapronov // UMN. - 1995. - T. 50. - Vyp. 4. - C. 140. Krein, S. G. Singular integral Volterra equations / S. G. Krein // Abstracts. International Congress of Mathematics. Zurich. 3-11 August 1994. - P. 125. Krein, S. G. Singular integral Volterra equations / S. G. Krein // Abstracts. International Congress of Mathematics. Zurich. 3-11 August 1994. - P. 125. Krein, S. G. One class of solutions of Volterra equation with regular singularity / S. G. Krein, I. V. Sapronov // Укр. мат. ж. - 1997. - T. 49. - № 3. - С. 424-432. Krein, S. G. One class of solutions of Volterra equation with regular singularity / S. G. Krein, I. V. Sapronov // Ukr. mat. zh. - 1997. - T. 49. - № 3. - S. 424-432. Сапронов, И. В. Многопараметрическое семейство решений интегрального уравнения Вольтерра с особенностью в банаховом пространстве // Известия высших учебных заведений. Математика. 2011. - № 1. - С. 59-71. Sapronov, I. V. Mnogoparametricheskoe semeystvo resheniy integral'nogo uravneniya Vol'terra s osobennost'yu v banahovom prostranstve // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedeniy. Matematika. 2011. - № 1. - S. 59-71. Сапронов, И. В. Уравнение Вольтерра с особенностью в банаховом пространстве / И. В. Сапронов // Известия высших учебных заведений. - Математика. - 2007. - № 11. - С. 45-55. Sapronov, I. V. Uravnenie Vol'terra s osobennost'yu v banahovom prostranstve / I. V. Sapronov // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedeniy. - Matematika. - 2007. - № 11. - S. 45-55. Сапронов, И. В. Многопараметрическое семейство решений интегрального уравнения Вольтерра с особенностью в банаховом пространстве / И. В. Сапронов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2005. - № 2. - С. 81-83. Sapronov, I. V. Mnogoparametricheskoe semeystvo resheniy integral'nogo uravneniya Vol'terra s osobennost'yu v banahovom prostranstve / I. V. Sapronov // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedeniy. Matematika. - 2005. - № 2. - S. 81-83. Сапронов, И. В. Об одном классе решений уравнения Вольтерра II рода с регулярной особенностью в банаховом пространстве / И. В. Сапронов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2004. - № 6. - С. 48-58. Sapronov, I. V. Ob odnom klasse resheniy uravneniya Vol'terra II roda s regulyarnoy osobennost'yu v banahovom prostranstve / I. V. Sapronov // Izvestiya vysshih uchebnyh zavedeniy. Matematika. - 2004. - № 6. - S. 48-58.