Voronezh Scientific-Technical Bulletin

Воронежский научно-технический вестник

2311-8873

41981

10.34220/2311-8873-2021-4-4-36-43

ТЕХНОЛОГИЯ И ОБОРУДОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ И ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ

PURE BENDING OF ELASTIC CURVE OF A BEAM

ЧИСТЫЙ ИЗГИБ УПРУГОГО КРИВОГО БРУСА

Огарков

Вячеслав Борисович

Ogarkov

Vyacheslav Borisovich

Аксенов

Алексей Александрович

Aksenov

Aleksei Aleksandrovich

Малюков

Сергей Владимирович

Malyukov

Sergei Vladimirovich

Князев

Александр Владимирович

Knyazev

Aleksandr Vladimirovich

Бородин

Николай Александрович

Borodin

Nikolai Aleksandrovich

3 4 36 43

https://vntv.editorum.ru/en/nauka/article/41981/view

Рассмотрена задача чистого изгиба упругого кривого бруса заданным моментом M. Доказано, что найденные в данной работе значения напряжений и деформаций зависят от величины коэффициента Пуассона μ. Получено точное аналитическое решение данной задачи с определением однозначных выражений для напряжений и деформаций.

The problem of pure bending of an elastic curved beam with a given moment M is considered. It is proved that the values of stresses and strains found in this paper depend on the value of the Poisson's ratio μ. An exact analytical solution to this problem is obtained with the determination of unambiguous expressions for stresses and deformations.

изгиб упругого бруса коэффициент Пуассона закон Гука

elastic beam bending Poisson's ratio Hooke's law.

УДК 624.072.21.7ЧИСТЫЙ ИЗГИБ УПРУГОГО КРИВОГО БРУСАОгарков В.Б., Аксенов А.А., Малюков С.В., Князев А.В., Бородин Н.А.Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования «Воронежский государственный лесотехническийуниверситет имени Г.Ф. Морозова»E-mail: mf@vglta.vrn.ru Аннотация: Рассмотрена задача чистого изгиба упругого кривого бруса заданным моментом M. Доказано, что найденные в данной работе значения напряжений и деформаций зависят от величины коэффициента Пуассона μ. Получено точное аналитическое решение данной задачи с определением однозначных выражений для напряжений и деформаций. Ключевые слова: изгиб упругого бруса, коэффициент Пуассона, закон Гука. PURE BENDING OF ELASTIC CURVE OF A BEAMOgarkov V.B., Aksenov A.A., Malyukov S.V., Knyazev A.V., Borodin N.A.Federal State Budget Educational Institution of Higher Education «Voronezh StateUniversity of Forestry and Technologies named after G.F. Morozov»E-mail: mf@vglta.vrn.ru Summary: The problem of pure bending of an elastic curved beam with a given moment M is considered. It is proved that the values of stresses and strains found in this paper depend on the value of the Poisson's ratio μ. An exact analytical solution to this problem is obtained with the determination of unambiguous expressions for stresses and deformations.Keywords: elastic beam bending, Poisson's ratio, Hooke's law. Рассмотрим задачу чистого изгиба изотропного упругого бруса под действием сосредоточенного изгибающего момента M [1, 3-6]:rdσrdr+σr-σθ=0; (1)εr=dudr; εθ=ur; (2)ddrr2dεθdr-rdεrdr=0. (3)В случае плоского напряженного состояния закон Гука имеет вид:εr=1Eσr-μσθ; εθ=1Eσθ-μσr; (4)σz=0; εz=0. (5)Разрешим закон Гука относительно напряжений:σr=E1-μ2εr+μεθ; σθ=E1-μ2εθ+μεr. (6)Будем искать деформации в следующем виде:εθ=ωr+A1; εr=dωdr+A2, (7)где A1 и A2 – искомые константы; ωr – неизвестная функция.Подставим напряжения (6) в уравнение равновесия (1):rdεrdr+μrdεθdr+1-μεr-εθ=0. (8)Подставим формулы (7) в уравнение (8):rd2ωdr2+μddrωr+1-μdωdr-ωr+A2-A1=0; (9)rd2ωdr2+dωdr-ωr=1-μA1-A2; (10)d2ωdr2+1rdωdr-ωr2=1-μA1-A2r. (11)Решение уравнения (11) имеет вид:ωr=C1r+C2r+C3rlnr; (12)2C3=1-μA1-A2; (13)C3=1-μ2A1-A2. (14)Найдем напряжения по формулам (6):σr=E1-μ2εr+μεθ; σθ=E1-μ2εθ+μεr; (15)εθ=ωr+A1=C1+C2r2+C3lnr+A1; (16)εr=dωdr+A2=C1-C2r2+C3lnr+C3+A2; (17)σr=E1-μ2C1+C3+A2-C2r2+C3lnr++μC1+A1+C2r2+C3lnr==E1-μ21+μC1+C3+A2+μA1+μ-1C2r2+C31+μlnr;(18)σθ=E1-μ2C1+A1+C2r2+C3lnr++μC1+C3+A2-C2r2+C3lnr==E1-μ21+μC1+A1+μA2+μC3+1-μC2r2+C31+μlnr.(19)Для кривого бруса имеем следующие граничные условия [1, 7-10]:σrr=r1=0; σrr=r2=0; (20)r1r2rσθdr=M. (21)Подставим напряжение (18) в граничные условия (20):1+μC1+C3+A2+μA1+μ-1C1r12+C31+μlnr1=0; (22)1+μC1+C3+A2+μA1+μ-1C2r22+C31+μlnr2=0; (23)μ-1C21r22-1r12+C31+μlnr2r1=0; (24)μ-1r12-r22r12r22C2=C31+μlnr1r2; (25)C2=1+μr12r22lnr1r2μ-1r12-r22C3; (26)1+μC1=-C3-A2-μA1+1-μC2r12-C31+μlnr1; (27)1+μC1=-C31+1+μlnr1-A2-μA1+r22lnr1r2lnr1r22-r12C3==-A2+μA1+r22lnr1r2lnr1r22-r12-1-1+μlnr1C3; (28)C1=-A2+μA11+μ+11+μr22lnr1r2lnr1r22-r12-1-1+μlnr1C3. (29)Рассмотрим граничное условие (21):rσθ=Er1-μ21+μC1+A1+μA2+1-μC2r2++μC3+1+μlnrC3; (30)r1r21+μC1r+A1r+μA2r+1-μC2r++μC3r+1+μrlnrC3dr=1-μ2ME; (31)12r22-r121+μC1+A1+μA2+1-μC2lnr2r1++12μC3r22-r12+1+μC3r1r2rlnrdr=1-μ2ME; (32)rlnrdr=rrlnr-r-rlnr-rdr==r2lnr-r2-rlnrdr+r22==r2lnr-r22-rlnrdr; (33)2rlnrdr=r2lnr-r22; (34)rlnrdr=r22lnr-r24. (35)Формула (32) принимает такой вид:12r22-r12A1+μA2+12r22-r121+μC1+1-μlnr2r1C2++μC32r22-r12+1+μC32r22lnr2-r12lnr1+12r12-r22==1-μ2ME; (36)12r22-r121+μC1+1-μlnr2r1C2++C32μr22-r12+1+μr22lnr2-r12lnr1+12r12-r22==1-μ2ME-12r22-r12A1+μA2; (37)12r22-r12-A2-μA1+r22lnr1r2lnr1r22-r12-1-1+μlnr1C3++1+μr12r22ln2r1r2r12-r22C3+C32μr22-r12++1+μr22lnr2-r12lnr1+12r12-r22==1-μ2ME-12r22-r12A1+μA2. (38)Решение уравнения (38) запишем так:C3=D1D2; (39)D1=1-μ2ME-12r22-r12A1+μA2+12r22-r12A2-μA1; (40)D2=12r22-r12r22lnr1r2lnr1r22-r12-1-1+μlnr1++1+μr12r22ln2r1r2r12-r22+12μr22-r12+1+μ2r12-r22++1+μr22lnr2-r12lnr1; (41)D1=1-μ2ME+r22-r1221-μA1-A2; (42)D2=12r22-r12r22lnr1r2lnr1r22-r12-1-1+μlnr1++1+μr12r22ln2r1r2r12-r22++12r22-r1221+μ+1+μr22lnr2-r12lnr1. (43)Используем формулу (14):A1-A2=2C31-μ. (44)Коэффициент D1 примет вид:D1=1-μ2ME+r22-r12C3. (45)Теперь будем иметь:D2C3=1-μ2ME+r22-r12C3; (46)C3=1-μ2MED1+r12-r22. (47)Напряжения находятся по формулам (18) и (19), а деформации – по формулам (16) и (17).Поскольку коэффициент D2 явно зависит от коэффициента Пуассона μ, то все три коэффициента C1, C2 и C3 тоже будут явно зависеть от коэффициента Пуассона.Таким образом, найденные в данной работе значения напряжений и деформаций явно зависят от величины коэффициента Пуассона μ, что соответствует физическому смыслу.В источниках [1, 11-14] приводятся следующие выражения для напряжений:σr=4MKr12r22r2lnr2r1-r22lnr2r-r12lnrr1; (48)σθ=4MK-r12r22r2lnr2r1-r22lnr2r-r12lnrr1+r22-r12; (49)K=r22-r12-4r12r22ln2r2r1. (50)Напряжения σr и σθ совсем не зависят от механических констант E и μ, что не соответствует физическому смыслу.Формулы для деформаций (16) и (17) соответствуют двузначному выражению для радиального перемещения ur. Решение, приведенное в [1, 15-20], тоже приводит к двузначному выражению ur. Однако, это не противоречит общей формуле Череза [2], по которой находят вектор перемещения по заданным деформациям.Если константа C3 найдена, то в соответствии с формулой (14):A1=2C31-μ+A2. (51)Для определенности, можно положить A2=0.

Варданян, Г. С. Сопротивление материалов / Г.С. Варданян, В. И. Андреев, Н. М. Атаров, А. А. Горшков. - М. : «Наука», 1995. - 568 с.

Vardanyan, G. S. Soprotivlenie materialov / G.S. Vardanyan, V. I. Andreev, N. M. Atarov, A. A. Gorshkov. - M. : «Nauka», 1995. - 568 s.

Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий. - М. : «Мир», 1975. - 864 с.

Novackij, V. Teoriya uprugosti / V. Novackij. - M. : «Mir», 1975. - 864 s.

Огарков, В. Б. Чистый изгиб упругого кривого бруса / В. Б. Огарков, В. М. Бугаков, К. Е. Бухтоярова // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Международная конференция. - 2012. - С. 293-295.

Ogarkov, V. B. CHistyj izgib uprugogo krivogo brusa / V. B. Ogarkov, V. M. Bugakov, K. E. Buhtoyarova // Aktual'nye problemy prikladnoj matematiki, informatiki i mekhaniki. Mezhdunarodnaya konferenciya. - 2012. - S. 293-295.

Аксенов, А. А. Полный расчет на прочность упругой балки при изгибе / А. А. Аксенов, В. Б. Огарков, С. В. Малюков // Воронежский научно-технический Вестник. - 2018. - Т. 1. - № 1 (23). - С. 75-80.

Aksenov, A. A. Polnyj raschet na prochnost' uprugoj balki pri izgibe / A. A. Aksenov, V. B. Ogarkov, S. V. Malyukov // Voronezhskij nauchno-tekhnicheskij Vestnik. - 2018. - T. 1. - № 1 (23). - S. 75-80.

Горшков, А. Г. Сопротивление материалов : учеб. пособ. / А. Г. Горшков, В. Н. Трошин, В. И. Шалашилин. - 2-е издание испр. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 544 с.

Gorshkov, A. G. Soprotivlenie materialov : ucheb. posob. / A. G. Gorshkov, V. N. Troshin, V. I. SHalashilin. - 2-e izdanie ispr. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 544 s.

Кучерявый, В. И. Теория упругости : учеб. пособие / В. И. Кучерявый. - Ухта : УГТУ, 2011. - 126 с.

Kucheryavyj, V. I. Teoriya uprugosti : ucheb. posobie / V. I. Kucheryavyj. - Uhta : UGTU, 2011. - 126 s.

Феодосьев, В. И. Сопротивление материалов : учеб. для вузов / В. И. Феодосьев. - 10-е издание, перераб. и доп. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. - 592 с.

Feodos'ev, V. I. Soprotivlenie materialov : ucheb. dlya vuzov / V. I. Feodos'ev. - 10-e izdanie, pererab. i dop. - M. : Izd-vo MGTU im. N. E. Baumana, 1999. - 592 s.

Аксенов, А. А. Расчет напряженно-деформированного состояния изотропного упругого цилиндра при стационарном тепловом воздействии / А. А. Аксенов, В. Б. Огарков, С. В. Малюков // Воронежский научно-технический Вестник. - 2017. - Т. 1. - № 1 (19). - С. 39-47.

Aksenov, A. A. Raschet napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya izotropnogo uprugogo cilindra pri stacionarnom teplovom vozdejstvii / A. A. Aksenov, V. B. Ogarkov, S. V. Malyukov // Voronezhskij nauchno-tekhnicheskij Vestnik. - 2017. - T. 1. - № 1 (19). - S. 39-47.

Chida, Tomohiro A Proposed Standard Test Method for Shear Failure and Estimation of Shear Strength of Japanese Cedar I. Shear failure test of Japanese cedar laminates using wood material as stiffener and finite element analysis, and estimation of shear modulus : T. Chida, T. Sasaki, H. Yamauchi, Y. Okazaki, Y. Kawai, Y. Iijima, // Mokuzai gakkaishi. - 2012. - Т. 58. - Вып. 5. - С. 260-270. - DOI : 10.2488/jwrs.58.260.

Chida, Tomohiro A Proposed Standard Test Method for Shear Failure and Estimation of Shear Strength of Japanese Cedar I. Shear failure test of Japanese cedar laminates using wood material as stiffener and finite element analysis, and estimation of shear modulus : T. Chida, T. Sasaki, H. Yamauchi, Y. Okazaki, Y. Kawai, Y. Iijima, // Mokuzai gakkaishi. - 2012. - T. 58. - Vyp. 5. - S. 260-270. - DOI : 10.2488/jwrs.58.260.

10.

Krotov, V. Application of the method of the principal components for the analysis of bearing ability of the wheel pair of the car : V. Krotov, S. Krotov // Transport Problems. - 2009. - Vol. 4. - № 4. pp. 15-23.

11.

Shlyannikov, V. N. Method for assessment of the residual life of turbine disks : V. N. Shlyannikov, R. R. Yarullin // Inorganic Materials. - 2010. Vol. 46. - № 15. - pp. 1683-1687.

12.

Dumail, Jf. Smear and compression behavior of wood in relation to mechanical pulping : Jf. Dumail, L. Salmen // Tappi international mechanical pulping conference. - 1999. - С. 213-219

Dumail, Jf. Smear and compression behavior of wood in relation to mechanical pulping : Jf. Dumail, L. Salmen // Tappi international mechanical pulping conference. - 1999. - S. 213-219

13.

Galicki, J. A new approach to formulate the general strength theories for anisotropic discontinuous materials. Part A: The experimental base for a new approach to formulate the general strength theories for anisotropic materials on the basis of wood : J. Galicki, M. Czech // Applied mathematical modeling. - 2013. - Т. 37. - Вып. 3. - С. 815-827. - DOI: 10.1016/j.apm.2012.03.004.

Galicki, J. A new approach to formulate the general strength theories for anisotropic discontinuous materials. Part A: The experimental base for a new approach to formulate the general strength theories for anisotropic materials on the basis of wood : J. Galicki, M. Czech // Applied mathematical modeling. - 2013. - T. 37. - Vyp. 3. - S. 815-827. - DOI: 10.1016/j.apm.2012.03.004.

14.

Водопьянов, В. И. Курс сопротивления материалов с примерами и задачами : учеб. пособие / В. И. Водопьянов, А. Н. Савкин, О. В. Кондратьев; ВолгГТУ. - Волгоград, 2012. - 136 с.

Vodop'yanov, V. I. Kurs soprotivleniya materialov s primerami i zadachami : ucheb. posobie / V. I. Vodop'yanov, A. N. Savkin, O. V. Kondrat'ev; VolgGTU. - Volgograd, 2012. - 136 s.

15.

Ашкенази, Е. К. Анизотропия древесины и древесных материалов : учеб. / Е. К. Ашкенази. - М. : Лесная промышленность, 1978. - 224 c.

Ashkenazi, E. K. Anizotropiya drevesiny i drevesnyh materialov : ucheb. / E. K. Ashkenazi. - M. : Lesnaya promyshlennost', 1978. - 224 c.

16.

Огарков, В. Б. Чистый изгиб упругого кривого бруса из ортотропного материала / В. Б. Огарков, А. А. Аксенов, С. В. Малюков // Воронежский научно-технический Вестник. - 2017. - Т. 4. - № 4 (22). - С. 78-83.

Ogarkov, V. B. CHistyj izgib uprugogo krivogo brusa iz ortotropnogo materiala / V. B. Ogarkov, A. A. Aksenov, S. V. Malyukov // Voronezhskij nauchno-tekhnicheskij Vestnik. - 2017. - T. 4. - № 4 (22). - S. 78-83.

17.

Benabou, L. Predictions of compressive strength and kink band orientation for wood species : L. Benabou // Mechanics of materials. - 2008. - Т. 42. - Вып. 3. - С. 335-343. - DOI : 10.1016/j.mechmat.2009.11.015.

Benabou, L. Predictions of compressive strength and kink band orientation for wood species : L. Benabou // Mechanics of materials. - 2008. - T. 42. - Vyp. 3. - S. 335-343. - DOI : 10.1016/j.mechmat.2009.11.015.

18.

Burgert, I. The tensile strength of isolated wood rays of beech (Fagus sylvatica L.) and its significance for the biomechanics of living trees : I. Burgert, D. Eckstein // Trees-structure and function. - 2001. - Т. 15. - Вып. 3. - С. 168-170. - DOI: 10.1007/s004680000086.

Burgert, I. The tensile strength of isolated wood rays of beech (Fagus sylvatica L.) and its significance for the biomechanics of living trees : I. Burgert, D. Eckstein // Trees-structure and function. - 2001. - T. 15. - Vyp. 3. - S. 168-170. - DOI: 10.1007/s004680000086.

19.

Aydemir, D. The Lap Joint Shear Strength of Wood Materials Bonded by Cellulose Fiber-Reinforced Polyvinyl Acetate : D.Aydemir // Bioresources. - 2014. - Т. 9. - Вып. 1. - С. 1179-1188.

Aydemir, D. The Lap Joint Shear Strength of Wood Materials Bonded by Cellulose Fiber-Reinforced Polyvinyl Acetate : D.Aydemir // Bioresources. - 2014. - T. 9. - Vyp. 1. - S. 1179-1188.

20.

De Magistris, F Deformation of wet wood under combined shear and compression : F. De Magistris, L. Salmen // Wood science and technology. - 2005. - Т. 39. - Вып. 6. - С. 460-471. - DOI: 10.1007/s00226-005-0025-x.

De Magistris, F Deformation of wet wood under combined shear and compression : F. De Magistris, L. Salmen // Wood science and technology. - 2005. - T. 39. - Vyp. 6. - S. 460-471. - DOI: 10.1007/s00226-005-0025-x.