The actual scientific and practical problem of plane deformation of an elastic cylinder under conditions of temperature and humidity is considered. Various pipes, shafts, plain bearings, bushings from natural and modified wood, etc. have a cylindrical shape. An exact analytical solution of this problem is given for an isotropic cylinder in the case of stationary temperature and humidity exposure. All formulas for stresses and strains and stresses contain mechanical and thermophysical constants, which corresponds to the physical meaning. It is proved that the use of classical methods for solving this problem through the potentials of stresses and displacements leads to an undesirable result in which stresses or deformations do not depend on the thermophysical constant C_2, which contradicts the physical meaning.
deformation of an elastic cylinder, temperature and humidity effect on an isotropic cylinder, Hooke's law
ВВЕДЕНИЕ
Проектирование и расчет напряженно-деформированного состояния упругих и упруго-вязко-пластических цилиндров из сжимаемого материала имеет важное научно-практическое значение [1, 10]. Цилиндр является основной деталью при изготовлении труб, валов, подшипников скольжения, различных втулок из естественной и модифицированной древесины и т.д. Однако до настоящего времени использующиеся известные методы решения таких задач нередко приводят к нежелательному результату – независимости полученных формул от механических и теплофизических констант. Поэтому получение общих решений, которые позволяют изучить зависимость напряжений и деформаций от механических и теплофизических постоянных имеет большое значение. Такие формулы могут успешно быть внедрены как в научно-исследовательских отчетах, так и в учебном процессе в курсах сопротивления материалов и древесиноведения.
1 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ УПРУГОГО ЦИЛИНДРА
ПРИ ТЕМПЕРАТУРНО-ВЛАЖНОСТНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
Рассмотрим плоскую деформацию упругого изотропного цилиндра при полярно-симметричном деформировании в условиях температурно-влажностного воздействия. Основная система уравнений имеет следующий вид [1, 2, 5, 8].
Уравнение равновесия:
Геометрические соотношения Коши:
Уравнение совместности деформаций:
Обобщенный закон Гука в случае стационарного теплового воздействия:
В случае плоской деформации:
Подставим формулу (8) в закон Гука (4)-(5):
Уравнение теплопроводности в случае полярной симметрии имеет вид [1, 4-8]:
Решение этого уравнения имеет вид:
Граничные условия имеют вид:
При 
: 
; при 
: 
. (13)
С учетом граничных условий, получим:
Обобщенный закон Гука (9)-(10):
Будем искать решение данной задачи в следующем виде:
Подставим формулы (19)-(22) в обобщенный закон Гука (17)-(18):
Приравняем соотношения (45) и (46):
Используем соотношение (45):
Проверим выполнение уравнения (46):
Соотношение (53) совпадает с соотношением (48).
Подсчитаем величину 
:
Подсчитаем коэффициент 
по формуле (36):
Запишем выражение для тангенциальной и радиальной деформаций:
Однозначное радиальное перемещение будем находить по следующей формуле [2, 9, 11-14]:
Подставим формулы (61) и (62) в соотношение (63):
Пусть заданы граничные условия в перемещениях:
Используем формулу (60):
Коэффициенты и 
находятся по формулам (49) и (53).
Пусть граничные условия заданы в напряжениях:
Имеем выражения для напряжений:
Подсчитаем величину по формуле (51):
Подставим в формулу (82) соотношение (49):
Используем формулу (80):
Таким образом, все полученные выше формулы для напряжений, деформаций и радиального перемещения содержат в явной форме теплофизические константы 
и 
.
2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ В НАПРЯЖЕНИЯХ
Рассмотрим алгоритм решения данной задачи в напряжениях.
Деформации имеют следующий вид:
Введем в рассмотрение потенциал напряжений [3, 5]:
Потенциал напряжений удовлетворяет уравнению равновесия (1).
Деформации примут следующий вид:
Уравнение совместности деформаций:
Подставим деформации (99) и (100) в уравнение совместности деформаций (104):
Решение уравнения (108) имеет вид:
Имеет следующие граничные условия:
Из формул (109), (112), (113), (120) и (121) следует, что напряжения 
и 
не зависят от физической константы , что нежелательно.
3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
Обобщенный закон Гука при температурно-влажностном воздействии имеет следующий вид:
Сложим и вычтем соотношения (122) и (123):
Сложим теперь соотношения (126) и (128):
Вычтем из соотношения (128) соотношение (126):
Таким образом, закон Гука принимает следующий вид:
Подставим напряжения и в уравнение равновесия (1):
Используем соотношения Коши:
Решение уравнения (148) имеет вид:
Будем в качестве примера задачи в перемещениях рассматривать задачу выгорания упругого цилиндра, заключенного в жесткую обойму [3, 15-20]:
Таким образом, в соответствии с формулами (152), (164) и (165) мы можем сделать вывод о том, что при решении данной задачи в перемещениях, радиальное перемещение 
и деформации 
и 
не зависят от теплофизической константы , что нежелательно.
1. Vardanyan, G. S. Soprotivlenie materialov / G. S. Vardanyn, V. I. Andreev, N. M. Atarov, A. A. Gorshkov. - M., 1995. - 568 s.
2. Aksenov, A. A. Raschet napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya izotropnogo uprugogo cilindra pri stacionarnom teplovom vozdeystvii / A. A. Aksenov, V. B. Ogarkov, S. V. Malyukov // Voronezhskiy nauchno-tehnicheskiy Vestnik. - 2017. - T. 1. - № 1 (19). - S. 39-47.
3. Koltunov, M. A. Prochnostnye raschety izdeliy iz polimernyh materialov / M. A. Koltunov, V. P. Mayboroda, V. G. Zubchanikov. - M. : «Mashinostroenie», 1983. - 239 s.
4. Gorshkov, A. G. Soprotivlenie materialov : ucheb. posob. / A. G. Gorshkov, V. N. Troshin, V. I. Shalashilin. - 2-e izdanie ispr. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 544 s.
5. Aksenov, A. A. Raschet napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya uprugogo cilindra iz neszhimaemogo materiala v usloviyah teplovogo vozdeystviya / A. A. Aksenov, V. B. Ogarkov, S. V. Malyukov // Voronezhskiy nauchno-tehnicheskiy Vestnik. - 2016. - T. 4. - № 4 (18). - S. 35-40.
6. Kucheryavyy, V. I. Teoriya uprugosti : ucheb. posobie / V. I. Kucheryavyy. - Uhta : UGTU, 2011. - 126 s.
7. Feodos'ev, V. I. Soprotivlenie materialov : ucheb. dlya vuzov / V. I. Feodos'ev. - 10-e izdanie, pererab. i dop. - M. : Izd-vo MGTU im. N. E. Baumana, 1999. - 592 s.
8. Aksenov, A. A. Raschet napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya ortotropnogo uprugogo cilindra / A. A. Aksenov, V. B. Ogarkov, S. V. Malyukov // Voronezhskiy nauchno-tehnicheskiy Vestnik. - 2017. - T. 4. - № 4 (22). - S. 73-77.
9. Ogarkov, V. B. Obobschennaya ploskaya deformaciya ravnomerno-vraschayuschegosya izotropnogo uprugogo vala iz neszhimaemogo materiala / V. B. Ogarkov, A. A. Aksenov, S. V. Malyukov // Voronezhskiy nauchno-tehnicheskiy Vestnik. - 2018. - T. 1. - № 1 (23). - S. 68-74.
10. Krotov, V. Application of the method of the principal components for the analysis of bearing ability of the wheel pair of the car : V. Krotov, S. Krotov // Transport Problems. - 2009. - Vol. 4. - № 4. pp. 15-23.
11. Shlyannikov, V. N. Method for assessment of the residual life of turbine disks : V. N. Shlyannikov, R. R. Yarullin // Inorganic Materials. - 2010. Vol. 46. - № 15. - pp. 1683-1687.
12. Vodop'yanov, V. I. Kurs soprotivleniya materialov s primerami i zadachami : ucheb. posobie / V. I. Vodop'yanov, A. N. Savkin, O. V. Kondrat'ev ; VolgGTU. - Volgograd, 2012. - 136 s.
13. Benabou, L. Predictions of compressive strength and kink band orientation for wood species : L. Benabou // Mechanics of materials. - 2008. - T. 42. - Vyp. 3. - S. 335-343. - DOI :https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2009.11.015.
14. Aksenov, A. A. Raschet temperaturnogo polya pressovannoy drevesiny pri intensivnom nagreve ee iznutri / A. A. Aksenov, S. V. Malyukov, V. S. Tyuhin // Voronezhskiy nauchno-tehnicheskiy Vestnik. - 2017. - T. 2. - № 2 (20). - S. 4-15.
15. Aydemir, D. The Lap Joint Shear Strength of Wood Materials Bonded by Cellulose Fiber-Reinforced Polyvinyl Acetate : D.Aydemir // Bioresources. - 2014. - T. 9. - Vyp. 1. - S. 1179-1188.
16. Aksenov, A. A. Sposob rascheta na prochnost' uprugoy balki iz drevesnogo materiala / A. A. Aksenov, V. B. Ogarkov, S. V. Malyukov // Voronezhskiy nauchno-tehnicheskiy Vestnik. - 2016. - T. 3. - № 3 (17). - S. 53-56.
17. Chida, Tomohiro A Proposed Standard Test Method for Shear Failure and Estimation of Shear Strength of Japanese Cedar I. Shear failure test of Japanese cedar laminates using wood material as stiffener and finite element analysis, and estimation of shear modulus : T. Chida, T. Sasaki, H. Yamauchi, Y. Okazaki, Y. Kawai, Y. Iijima, // Mokuzai gakkaishi. - 2012. - T. 58. - Vyp. 5. - S. 260-270. - DOI :https://doi.org/10.2488/jwrs.58.260.
18. Burgert, I. The tensile strength of isolated wood rays of beech (Fagus sylvatica L.) and its significance for the biomechanics of living trees : I. Burgert, D. Eckstein // Trees-structure and function. - 2001. - T. 15. - Vyp. 3. - S. 168-170. - DOI :https://doi.org/10.1007/s00468000008.
19. De Magistris, F Deformation of wet wood under combined shear and compression : F. De Magistris, L. Salmen // Wood science and technology. - 2005. - T. 39. - Vyp. 6. - S. 460-471. - DOI :https://doi.org/10.1007/s00226-005-0025-x.
20. Galicki, J. A new approach to formulate the general strength theories for anisotropic discontinuous materials. Part A : The experimental base for a new approach to formulate the general strength theories for anisotropic materials on the basis of wood : J. Galicki, M. Czech // Applied mathematical modeling. - 2013. - T. 37. - Vyp. 3. - S. 815-827. - DOI :https://doi.org/10.1016/j.apm.2012.03.004.
