Рассмотрена актуальная научно-практическая задача о плоской деформации упругого цилиндра в условиях температурно-влажностного воздействия. Цилиндрическую форму имеют различные трубы, валы, подшипники скольжения, втулки из естественной и модифицированной древесины и т.д. Дано точное аналитическое решение данной задачи для изотропного цилиндра в случае стационарного температурно-влажностного воздействия. Все формулы для напряжений и деформаций содержат механические и теплофизические константы, что соответствует физическому смыслу. Доказано, что использование классических методов решения данной задачи через потенциалы напряжений и перемещений приводит к нежелательному результату, при котором напряжения или деформации не зависят от теплофизической константы C_2, что противоречит физическому смыслу.
деформирование упругого цилиндра, температурно-влажностное воздействие на изотропный цилиндр, закон Гука
ВВЕДЕНИЕ
Проектирование и расчет напряженно-деформированного состояния упругих и упруго-вязко-пластических цилиндров из сжимаемого материала имеет важное научно-практическое значение [1, 10]. Цилиндр является основной деталью при изготовлении труб, валов, подшипников скольжения, различных втулок из естественной и модифицированной древесины и т.д. Однако до настоящего времени использующиеся известные методы решения таких задач нередко приводят к нежелательному результату – независимости полученных формул от механических и теплофизических констант. Поэтому получение общих решений, которые позволяют изучить зависимость напряжений и деформаций от механических и теплофизических постоянных имеет большое значение. Такие формулы могут успешно быть внедрены как в научно-исследовательских отчетах, так и в учебном процессе в курсах сопротивления материалов и древесиноведения.
1 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ УПРУГОГО ЦИЛИНДРА
ПРИ ТЕМПЕРАТУРНО-ВЛАЖНОСТНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
Рассмотрим плоскую деформацию упругого изотропного цилиндра при полярно-симметричном деформировании в условиях температурно-влажностного воздействия. Основная система уравнений имеет следующий вид [1, 2, 5, 8].
Уравнение равновесия:
Геометрические соотношения Коши:
Уравнение совместности деформаций:
Обобщенный закон Гука в случае стационарного теплового воздействия:
В случае плоской деформации:
Подставим формулу (8) в закон Гука (4)-(5):
Уравнение теплопроводности в случае полярной симметрии имеет вид [1, 4-8]:
Решение этого уравнения имеет вид:
Граничные условия имеют вид:
При 
: 
; при 
: 
. (13)
С учетом граничных условий, получим:
Обобщенный закон Гука (9)-(10):
Будем искать решение данной задачи в следующем виде:
Подставим формулы (19)-(22) в обобщенный закон Гука (17)-(18):
Приравняем соотношения (45) и (46):
Используем соотношение (45):
Проверим выполнение уравнения (46):
Соотношение (53) совпадает с соотношением (48).
Подсчитаем величину 
:
Подсчитаем коэффициент 
по формуле (36):
Запишем выражение для тангенциальной и радиальной деформаций:
Однозначное радиальное перемещение будем находить по следующей формуле [2, 9, 11-14]:
Подставим формулы (61) и (62) в соотношение (63):
Пусть заданы граничные условия в перемещениях:
Используем формулу (60):
Коэффициенты и 
находятся по формулам (49) и (53).
Пусть граничные условия заданы в напряжениях:
Имеем выражения для напряжений:
Подсчитаем величину по формуле (51):
Подставим в формулу (82) соотношение (49):
Используем формулу (80):
Таким образом, все полученные выше формулы для напряжений, деформаций и радиального перемещения содержат в явной форме теплофизические константы 
и 
.
2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ В НАПРЯЖЕНИЯХ
Рассмотрим алгоритм решения данной задачи в напряжениях.
Деформации имеют следующий вид:
Введем в рассмотрение потенциал напряжений [3, 5]:
Потенциал напряжений удовлетворяет уравнению равновесия (1).
Деформации примут следующий вид:
Уравнение совместности деформаций:
Подставим деформации (99) и (100) в уравнение совместности деформаций (104):
Решение уравнения (108) имеет вид:
Имеет следующие граничные условия:
Из формул (109), (112), (113), (120) и (121) следует, что напряжения 
и 
не зависят от физической константы , что нежелательно.
3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ В ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
Обобщенный закон Гука при температурно-влажностном воздействии имеет следующий вид:
Сложим и вычтем соотношения (122) и (123):
Сложим теперь соотношения (126) и (128):
Вычтем из соотношения (128) соотношение (126):
Таким образом, закон Гука принимает следующий вид:
Подставим напряжения и в уравнение равновесия (1):
Используем соотношения Коши:
Решение уравнения (148) имеет вид:
Будем в качестве примера задачи в перемещениях рассматривать задачу выгорания упругого цилиндра, заключенного в жесткую обойму [3, 15-20]:
Таким образом, в соответствии с формулами (152), (164) и (165) мы можем сделать вывод о том, что при решении данной задачи в перемещениях, радиальное перемещение 
и деформации 
и 
не зависят от теплофизической константы , что нежелательно.
1. Варданян, Г. С. Сопротивление материалов / Г. С. Варданын, В. И. Андреев, Н. М. Атаров, А. А. Горшков. - М., 1995. - 568 с.
2. Аксенов, А. А. Расчет напряженно-деформированного состояния изотропного упругого цилиндра при стационарном тепловом воздействии / А. А. Аксенов, В. Б. Огарков, С. В. Малюков // Воронежский научно-технический Вестник. - 2017. - Т. 1. - № 1 (19). - С. 39-47.
3. Колтунов, М. А. Прочностные расчеты изделий из полимерных материалов / М. А. Колтунов, В. П. Майборода, В. Г. Зубчаников. - М. : «Машиностроение», 1983. - 239 с.
4. Горшков, А. Г. Сопротивление материалов : учеб. пособ. / А. Г. Горшков, В. Н. Трошин, В. И. Шалашилин. - 2-е издание испр. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 544 с.
5. Аксенов, А. А. Расчет напряженно-деформированного состояния упругого цилиндра из несжимаемого материала в условиях теплового воздействия / А. А. Аксенов, В. Б. Огарков, С. В. Малюков // Воронежский научно-технический Вестник. - 2016. - Т. 4. - № 4 (18). - С. 35-40.
6. Кучерявый, В. И. Теория упругости : учеб. пособие / В. И. Кучерявый. - Ухта : УГТУ, 2011. - 126 с.
7. Феодосьев, В. И. Сопротивление материалов : учеб. для вузов / В. И. Феодосьев. - 10-е издание, перераб. и доп. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999. - 592 с.
8. Аксенов, А. А. Расчет напряженно-деформированного состояния ортотропного упругого цилиндра / А. А. Аксенов, В. Б. Огарков, С. В. Малюков // Воронежский научно-технический Вестник. - 2017. - Т. 4. - № 4 (22). - С. 73-77.
9. Огарков, В. Б. Обобщенная плоская деформация равномерно-вращающегося изотропного упругого вала из несжимаемого материала / В. Б. Огарков, А. А. Аксенов, С. В. Малюков // Воронежский научно-технический Вестник. - 2018. - Т. 1. - № 1 (23). - С. 68-74.
10. Krotov, V. Application of the method of the principal components for the analysis of bearing ability of the wheel pair of the car : V. Krotov, S. Krotov // Transport Problems. - 2009. - Vol. 4. - № 4. pp. 15-23.
11. Shlyannikov, V. N. Method for assessment of the residual life of turbine disks : V. N. Shlyannikov, R. R. Yarullin // Inorganic Materials. - 2010. Vol. 46. - № 15. - pp. 1683-1687.
12. Водопьянов, В. И. Курс сопротивления материалов с примерами и задачами : учеб. пособие / В. И. Водопьянов, А. Н. Савкин, О. В. Кондратьев ; ВолгГТУ. - Волгоград, 2012. - 136 с.
13. Benabou, L. Predictions of compressive strength and kink band orientation for wood species : L. Benabou // Mechanics of materials. - 2008. - Т. 42. - Вып. 3. - С. 335-343. - DOI :https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2009.11.015.
14. Аксенов, А. А. Расчет температурного поля прессованной древесины при интенсивном нагреве ее изнутри / А. А. Аксенов, С. В. Малюков, В. С. Тюхин // Воронежский научно-технический Вестник. - 2017. - Т. 2. - № 2 (20). - С. 4-15.
15. Aydemir, D. The Lap Joint Shear Strength of Wood Materials Bonded by Cellulose Fiber-Reinforced Polyvinyl Acetate : D.Aydemir // Bioresources. - 2014. - Т. 9. - Вып. 1. - С. 1179-1188.
16. Аксенов, А. А. Способ расчета на прочность упругой балки из древесного материала / А. А. Аксенов, В. Б. Огарков, С. В. Малюков // Воронежский научно-технический Вестник. - 2016. - Т. 3. - № 3 (17). - С. 53-56.
17. Chida, Tomohiro A Proposed Standard Test Method for Shear Failure and Estimation of Shear Strength of Japanese Cedar I. Shear failure test of Japanese cedar laminates using wood material as stiffener and finite element analysis, and estimation of shear modulus : T. Chida, T. Sasaki, H. Yamauchi, Y. Okazaki, Y. Kawai, Y. Iijima, // Mokuzai gakkaishi. - 2012. - Т. 58. - Вып. 5. - С. 260-270. - DOI :https://doi.org/10.2488/jwrs.58.260.
18. Burgert, I. The tensile strength of isolated wood rays of beech (Fagus sylvatica L.) and its significance for the biomechanics of living trees : I. Burgert, D. Eckstein // Trees-structure and function. - 2001. - Т. 15. - Вып. 3. - С. 168-170. - DOI :https://doi.org/10.1007/s00468000008.
19. De Magistris, F Deformation of wet wood under combined shear and compression : F. De Magistris, L. Salmen // Wood science and technology. - 2005. - Т. 39. - Вып. 6. - С. 460-471. - DOI :https://doi.org/10.1007/s00226-005-0025-x.
20. Galicki, J. A new approach to formulate the general strength theories for anisotropic discontinuous materials. Part A : The experimental base for a new approach to formulate the general strength theories for anisotropic materials on the basis of wood : J. Galicki, M. Czech // Applied mathematical modeling. - 2013. - Т. 37. - Вып. 3. - С. 815-827. - DOI :https://doi.org/10.1016/j.apm.2012.03.004.
