The problem of pure bending of an elastic curved beam with a given moment M is considered. It is proved that the values of stresses and strains found in this paper depend on the value of the Poisson's ratio μ. An exact analytical solution to this problem is obtained with the determination of unambiguous expressions for stresses and deformations.
elastic beam bending, Poisson's ratio, Hooke's law.
УДК 624.072.21.7
ЧИСТЫЙ ИЗГИБ УПРУГОГО КРИВОГО БРУСА
Огарков В.Б., Аксенов А.А., Малюков С.В., Князев А.В., Бородин Н.А.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования «Воронежский государственный лесотехнический
университет имени Г.Ф. Морозова»
E-mail: mf@vglta.vrn.ru
Аннотация: Рассмотрена задача чистого изгиба упругого кривого бруса заданным моментом M. Доказано, что найденные в данной работе значения напряжений и деформаций зависят от величины коэффициента Пуассона 
Получено точное аналитическое решение данной задачи с определением однозначных выражений для напряжений и деформаций.
Ключевые слова: изгиб упругого бруса, коэффициент Пуассона, закон Гука.
PURE BENDING OF ELASTIC CURVE OF A BEAM
Ogarkov V.B., Aksenov A.A., Malyukov S.V., Knyazev A.V., Borodin N.A.
Federal State Budget Educational Institution of Higher Education «Voronezh State
University of Forestry and Technologies named after G.F. Morozov»
E-mail: mf@vglta.vrn.ru
Summary: The problem of pure bending of an elastic curved beam with a given moment M is considered. It is proved that the values of stresses and strains found in this paper depend on the value of the Poisson's ratio μ. An exact analytical solution to this problem is obtained with the determination of unambiguous expressions for stresses and deformations.
Keywords: elastic beam bending, Poisson's ratio, Hooke's law.
Рассмотрим задачу чистого изгиба изотропного упругого бруса под действием сосредоточенного изгибающего момента 
[1, 3-6]:
В случае плоского напряженного состояния закон Гука имеет вид:
Разрешим закон Гука относительно напряжений:
Будем искать деформации в следующем виде:
где 
и 
– искомые константы; 
– неизвестная функция.
Подставим напряжения (6) в уравнение равновесия (1):
Подставим формулы (7) в уравнение (8):
Решение уравнения (11) имеет вид:
Найдем напряжения по формулам (6):
Для кривого бруса имеем следующие граничные условия [1, 7-10]:
Подставим напряжение (18) в граничные условия (20):
Рассмотрим граничное условие (21):
Формула (32) принимает такой вид:
Решение уравнения (38) запишем так:
Используем формулу (14):
Коэффициент 
примет вид:
Теперь будем иметь:
Напряжения находятся по формулам (18) и (19), а деформации – по формулам (16) и (17).
Поскольку коэффициент 
явно зависит от коэффициента Пуассона 
, то все три коэффициента 
, 
и 
тоже будут явно зависеть от коэффициента Пуассона.
Таким образом, найденные в данной работе значения напряжений и деформаций явно зависят от величины коэффициента Пуассона , что соответствует физическому смыслу.
В источниках [1, 11-14] приводятся следующие выражения для напряжений:
Напряжения 
и 
совсем не зависят от механических констант 
и , что не соответствует физическому смыслу.
Формулы для деформаций (16) и (17) соответствуют двузначному выражению для радиального перемещения 
. Решение, приведенное в [1, 15-20], тоже приводит к двузначному выражению . Однако, это не противоречит общей формуле Череза [2], по которой находят вектор перемещения по заданным деформациям.
Если константа найдена, то в соответствии с формулой (14):
Для определенности, можно положить 
.
1. Vardanyan, G. S. Soprotivlenie materialov / G.S. Vardanyan, V. I. Andreev, N. M. Atarov, A. A. Gorshkov. - M. : «Nauka», 1995. - 568 s.
2. Novackij, V. Teoriya uprugosti / V. Novackij. - M. : «Mir», 1975. - 864 s.
3. Ogarkov, V. B. CHistyj izgib uprugogo krivogo brusa / V. B. Ogarkov, V. M. Bugakov, K. E. Buhtoyarova // Aktual'nye problemy prikladnoj matematiki, informatiki i mekhaniki. Mezhdunarodnaya konferenciya. - 2012. - S. 293-295.
4. Aksenov, A. A. Polnyj raschet na prochnost' uprugoj balki pri izgibe / A. A. Aksenov, V. B. Ogarkov, S. V. Malyukov // Voronezhskij nauchno-tekhnicheskij Vestnik. - 2018. - T. 1. - № 1 (23). - S. 75-80.
5. Gorshkov, A. G. Soprotivlenie materialov : ucheb. posob. / A. G. Gorshkov, V. N. Troshin, V. I. SHalashilin. - 2-e izdanie ispr. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 544 s.
6. Kucheryavyj, V. I. Teoriya uprugosti : ucheb. posobie / V. I. Kucheryavyj. - Uhta : UGTU, 2011. - 126 s.
7. Feodos'ev, V. I. Soprotivlenie materialov : ucheb. dlya vuzov / V. I. Feodos'ev. - 10-e izdanie, pererab. i dop. - M. : Izd-vo MGTU im. N. E. Baumana, 1999. - 592 s.
8. Aksenov, A. A. Raschet napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya izotropnogo uprugogo cilindra pri stacionarnom teplovom vozdejstvii / A. A. Aksenov, V. B. Ogarkov, S. V. Malyukov // Voronezhskij nauchno-tekhnicheskij Vestnik. - 2017. - T. 1. - № 1 (19). - S. 39-47.
9. Chida, Tomohiro A Proposed Standard Test Method for Shear Failure and Estimation of Shear Strength of Japanese Cedar I. Shear failure test of Japanese cedar laminates using wood material as stiffener and finite element analysis, and estimation of shear modulus : T. Chida, T. Sasaki, H. Yamauchi, Y. Okazaki, Y. Kawai, Y. Iijima, // Mokuzai gakkaishi. - 2012. - T. 58. - Vyp. 5. - S. 260-270. - DOI :https://doi.org/10.2488/jwrs.58.260.
10. Krotov, V. Application of the method of the principal components for the analysis of bearing ability of the wheel pair of the car : V. Krotov, S. Krotov // Transport Problems. - 2009. - Vol. 4. - № 4. pp. 15-23.
11. Shlyannikov, V. N. Method for assessment of the residual life of turbine disks : V. N. Shlyannikov, R. R. Yarullin // Inorganic Materials. - 2010. Vol. 46. - № 15. - pp. 1683-1687.
12. Dumail, Jf. Smear and compression behavior of wood in relation to mechanical pulping : Jf. Dumail, L. Salmen // Tappi international mechanical pulping conference. - 1999. - S. 213-219
13. Galicki, J. A new approach to formulate the general strength theories for anisotropic discontinuous materials. Part A: The experimental base for a new approach to formulate the general strength theories for anisotropic materials on the basis of wood : J. Galicki, M. Czech // Applied mathematical modeling. - 2013. - T. 37. - Vyp. 3. - S. 815-827. - DOI:https://doi.org/10.1016/j.apm.2012.03.004.
14. Vodop'yanov, V. I. Kurs soprotivleniya materialov s primerami i zadachami : ucheb. posobie / V. I. Vodop'yanov, A. N. Savkin, O. V. Kondrat'ev; VolgGTU. - Volgograd, 2012. - 136 s.
15. Ashkenazi, E. K. Anizotropiya drevesiny i drevesnyh materialov : ucheb. / E. K. Ashkenazi. - M. : Lesnaya promyshlennost', 1978. - 224 c.
16. Ogarkov, V. B. CHistyj izgib uprugogo krivogo brusa iz ortotropnogo materiala / V. B. Ogarkov, A. A. Aksenov, S. V. Malyukov // Voronezhskij nauchno-tekhnicheskij Vestnik. - 2017. - T. 4. - № 4 (22). - S. 78-83.
17. Benabou, L. Predictions of compressive strength and kink band orientation for wood species : L. Benabou // Mechanics of materials. - 2008. - T. 42. - Vyp. 3. - S. 335-343. - DOI :https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2009.11.015.
18. Burgert, I. The tensile strength of isolated wood rays of beech (Fagus sylvatica L.) and its significance for the biomechanics of living trees : I. Burgert, D. Eckstein // Trees-structure and function. - 2001. - T. 15. - Vyp. 3. - S. 168-170. - DOI:https://doi.org/10.1007/s004680000086.
19. Aydemir, D. The Lap Joint Shear Strength of Wood Materials Bonded by Cellulose Fiber-Reinforced Polyvinyl Acetate : D.Aydemir // Bioresources. - 2014. - T. 9. - Vyp. 1. - S. 1179-1188.
20. De Magistris, F Deformation of wet wood under combined shear and compression : F. De Magistris, L. Salmen // Wood science and technology. - 2005. - T. 39. - Vyp. 6. - S. 460-471. - DOI:https://doi.org/10.1007/s00226-005-0025-x.
